คณิตศาสตร์ใกล้ตัว : ลำดับเรขาคณิต กับ ดอกเบี้ยธนาคาร ( ตอนจบ )

     ต่อจากบทความ “คณิตศาสตร์ใกล้ตัว : ลำดับเรขาคณิต กับ ดอกเบี้ยธนาคาร ( ตอนแรก )” เราได้ทราบถึงหลักการคำนวณลำดับอนุกรมของลำดับเรขาคณิตเป็นที่เรียบร้อยแล้ว คราวนี้เราจะมาดูกันว่า กู้เงิน 1 ล้านบ้าน อัตราดอกเบี้ย 6.5% ต่อปี  จะกลายเป็น ดอกเบี้ย 7แสนบาท ได้อย่างไร

ดอกเบี้ยทบต้น

 ธนาคารจะใช้หลักการคิดแบบดอกเบี้ยทบต้น นั้นหมายถึง ดอกเบี้ยที่คิดจะมีผลบนเงินจำนวนล่าสุด ( ที่อาจเคยมีการบวกดอกเบี้ยเข้าไปเพิ่มแล้ว ) เช่น

สมมุติฝากเงินธนาคาร 100 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1 % ต่อปี

     ปีที่ 1 จะมีเงิน 100 บาท (เงินเดิม)  +  1 บาท (ดอกเบี้ย 1 % ของ 100)  = 101 บาท = 100(1.01)

     ปีที่ 2 จะมีเงิน 101 บาท (เงินเดิมจากปีแรก)  +  1.01 บาท (ดอกเบี้ย 1 % ของ 100 )  = 102.01 บาท  = 100(1.01)2

     ดังนั้นหากฝากไป n ปี ก็จะมีเงินเป็น   100(1.01)n  นั้นเอง

Present Value (มูลค่าในปัจจุบัน)

การคิด PV หรือ Present Value จะเป็นการมองกลับกันจากตัวอย่างข้างต้น 

จากที่ปรกติเราจะมองว่า

“ถ้าตอนนี้มีเงิน A บาท ฝากธนาคารดอกเบี้ย i เป็นเวลา n ปี จะมีเงิน ณ ปีที่ n เป็นเงินเท่าไหร่?”

แต่ในการคิดค่า PV เราจะมองว่า

“เพื่อให้อนาคต เกินเงินขึ้น A บาท ฝากธนาคารดอกเบี้ย i เป็นเวลา n ปี ณ ตอนนี้ต้องมีเงินเท่าไหร่?”

ตัวอย่าง

สมมติ ธนาคารให้เงินดอกเบี้ยที่ 1 % ต่อปี เราฝากเงิน 100 บาท ผ่านไป 2 ปีจะมีเงิน 100(1.01)2

ดังนั้น PV ของ 100(1.01)2 ก็คือ 100 บาทนั้นเอง  โดยสามารถหาได้จากการคูณส่วนกลับของดอกเบี้ยทบต้น  100(1.01)2 x (1.01)-2  = 100  นั้นเอง

Compound  interest

เราสามารถแปลงอัตราดอกเบี้ย โดยไม่จำเป็นต้องคิดเป็นต่อ 1 ปี แต่สามารถคิดไปตามจำนวนครั้งที่เกิดการ จ่ายเงินได้ เช่น  จากตัวอย่างที่ผ่านมา เราพบว่า หากธนาคารให้ดอกเบี้ย 1 % ฝากเงิน 100 บาท จะได้ ดอกเบี้ย 1 บาท ( 1 % ของเงินต้น ) แต่ผ่านไป 2 ปี ได้เงิน 2.01 บาท ( 2.01 % ) ของเงินต้น

เพื่อความง่ายขึ้นเราจะเปลี่ยนให้อัตราดอกเบี้ยอยู่ในรูปของตัวเลข แทนที่จะเป็น %

ดังนั้น ดอกเบี้ย 1 % ต่อปี = 0.01

พิจารณา (1 + 0.01)2 = (1 + 0.0201)

เราจะพบความสัมพันธ์ง่ายๆ โดยถ้าสมมติ i คือดอกเบี้ยในหน่วย ต่อ ปี

หากฝากเป็นระยะเวลา n ปี จะได้ว่า (1 + i)n = (1+j)  ได้ j = (1 + i)n – 1 : j คือดอกเบี้ยต่อปี n ปี นั้นเอง

“กู้เงิน 1 ล้าน เป็นเวลา 20 ปี ดอกเบี้ย 6.5% ต่อปี โดยผ่อนเงินทุกเดือน  จะต้องผ่อนเดือนละเท่าไหร่ และ รวมแล้วทั้งสิ้นต้องจ่ายเงินคืนธนาคารเท่าไหร่” 

จากข้อความข้างต้น เรามีหนี้ ณ วันนี้ มูลค่า 1 ล้านบ้าน ดังนั้น PV ( Present Value ) = 1 ล้านบาท 

จำนวนครั้งที่เราต้องจ่ายคืน คือ 20 ปี x 12 เดือน 240 ครั้ง 

เนื่องจากอัตราดอกเบี้ยที่ให้มา เป็นหน่วย ต่อปี แต่ในความเป็นจริงนั้น เราจะต้องผ่อนธนาคารทุกเดือน ดังนั้นเราจะ  เปลี่ยนให้เป็นอัตราดอกเบี้ยที่เกิดต่อเดือน โดยใช้วิธีเดียวกับหัวข้อ Compound  interest

ให้ i แทนดอกเบี้ยต่อ ปี , j แทนดอกเบี้ยต่อเดือน จะได้ว่า (1+j)12 = 1+i 

I = 6.5% = 0.065 แทนลงในสมการข้างต้น จะได้ว่า j = 0.0053 (0.53% ต่อเดือน) นั้นเอง

สมมติว่า ในแต่ละงวด เราจ่ายเงินคือจำนวน A บาท

โดยหลักการในหัวข้อ Present Value

ได้ว่า PV = A(1+j)-1 + A(1+j)-2+ A(1+j)-3 + … + A(1+j)-240

พิจารณา (1+j)-1  = 0.9948 สมมติ  v = 0.9948 แทนกลับลงในสมการ Pricing

PV = Av + Av2 + Av3 +… + Av240  จะเห็นว่าสมการที่เกิดขึ้น เป็นสมการของอนุกรมลำดับเรขาคณิต นั้นเอง !!!!

เรา สามารถแก้สมการหาค่า A ได้โดย PV = {Av ( 1 – v240) }/(1-v)

แทนค่า PV = 1 ล้านบาท , v = 0.9948 ได้ A = 7,284.4 บาท

สรุป

“กู้เงิน 1 ล้าน เป็นเวลา 20 ปี ดอกเบี้ย 6.5% ต่อปี โดยผ่อนเงินทุกเดือน  จะต้องผ่อนเดือนละเท่าไหร่ ? “

  ตอบ 7,284.4 บาท / เดือน : นี่คือตัวเลขจริงในโลกแห่งความเป็นจริง ที่คุณจะต้องผ่อนเมื่อมีการกู้เงินจากธนาคาร

“รวมแล้วทั้งสิ้นต้องจ่ายเงินคืนธนาคารเท่าไหร่?”  

  ตอบ 7,284.4 บาท X 240 ครั้ง  =  1,748,256 บาท !!!!!

                                                                                                           คิดเป็นดอกเบี้ยถึง 7 แสนบาท !!!

แน่นอนว่ามูลค่าของดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นจริง หากดูจากการแก้สมการแล้ว มันยังขึ้นอยู่กับว่า คุณจะผ่อนคืนในเวลาเท่าใด ก็ สามารถเปลี่ยนผลลัพธ์ได้เช่นกัน   เผื่อลดปริมาณดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นลง เราจะต้องผ่อนให้สั้นที่สุด แต่แน่นอนว่าการผ่อนใน ระยะเวลาสั้นๆ จำนวนเงินที่ต้องผ่อนต่อครั้ง ก็จะมากขึ้นตามด้วย

นอกจากนี้ยังอาจมีตัวแปรอื่นๆ ขึ้นกับเงื่อนไขที่ผู้กู้ได้ทำกับธนาคาร

แต่อย่างไรก็ดี คราวนี้คงเห็นแล้วว่า ในความเป็นจริงแล้ว คณิตศาสตร์อยู่ใกล้ตัวเรามากๆ และแน่นอนว่า ผู้มีความรู้ย่อมสามารถทำการตัดสินใจได้รอบคอบกว่าแน่นอน

เนื้อหาโดย : ธัชชัย ตระกูลเลิศยศ

ภาพจาก

http://bigthink.com/60-second-reads/just-add-money-see-what-happens